Пошук по сайту

Алгебра  лекції  Курсова робота  Рефераты  

1. Задача про обчислення шляху - А. М. Колмогоров Застосування визначеного інтеграла в геометрії, фізиці, економіці

А. М. Колмогоров Застосування визначеного інтеграла в геометрії, фізиці, економіці





Сторінка2/3
1   2   3

1. Задача про обчислення шляху.
Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно з деякою миттєвою швидкістю . Треба знайти шлях, який пройде тіло за проміжок часу від t=T1 до t=T2.

У найпростішому випадку, якщо миттєва швидкість стала, тобто , то шлях, пройдений тілом, дорівнює (за означенням, відомим з курсу фізики) добутку швидкості на час руху:



У загальному випадку, коли миттєва швидкість не стала, роблять так.

Проміжок часу [T1; T2] ділять точками t0=T1, …, tn-1, tn=T2(t0 t1… tn) на n відрізків [ti-1; ti], i=1, 2, …, n, однакової довжини.

.

Далі, взявши на кожному відрізку [ti-1; ti], довільну точку складають суму

. (1)

Кожний доданок цієї суми дає наближене значення шляху, пройденого тілом за час від t=ti-1 до t=ti. Отже, шлях, пройдений тілом за час від t=T1 до t=T2, наближено виражається сумою (1).

Легко побачити, що наближення буде тим кращим, чим дрібніші відрізки поділу [ti-1; ti], i=1, 2, …, n. Тому шлях s, пройдений тілом за відрізок часу [T1; T2], визначається як границя суми (1) при :



Оскільки остання границя, за означенням, є визначний інтеграл від функції на відрізку [T1; T2], то шлях, пройдений тілом за проміжок часу [T1; T2], обчислюють за формулою

(2)

Приклад 1.
Тіло рухається прямолінійно з швидкістю м/с. Знайти шлях, пройдений тілом за перші 3 с.
Розв’язання.
За формулою (2) дістанемо


2. Задача про силу тиску рідини.
Нехай пластинку у вигляді криволінійної трапеції занурено вертикально в рідину з густиною так, що її бічні сторони паралельні поверхні рідини і лежать нижче від її рівня відповідно на відстані a i b. Визначити силу тиску рідини на пластинку.

Якщо пластинка буде в горизонтальному положенні на глибині h від поверхні (рівня) рідини, то сила тиску Р рідини в ньютонах на горизонтальну пластинку дорівнюватиме вазі стовпа рідини, основа якого – дана пластинка, а висота – глибина h, тобто

, (1)

де S - площа пластинки.

А якщо пластинку занурено в рідину вертикально, то за формулою (1) тиск рідини на пластинку не можна обчислити, бо в цьому разі тиск рідини на одиницю площі пластинки змінюється із зміною глибини занурення, тобто залежить від відстані пластинки до поверхні рідини.

Розв’язуючи задачу, враховуватимемо те, що за законом Паскаля тиск у рідині передається однаково в усіх напрямках, у тому числі й на вертикальну площадку.

Для розв’язання задачі поділимо пластинку на n частин (малих горизонтальних смужок) прямими, які паралельні поверхні рідини (тобто паралельні осі Оу) і проходять через точки , де , і=0, 1, 2, …, n.

Виділимо одну із смужок на глибині хі. Для досить вузької смужки тиск у всіх її частинах можна вважати наближено однаковим, а саму смужку можна взяти за прямокутник з висотою і основою, яка дорівнює нижній основі смужки. Легко побачити, що довжина основи прямокутника є функцією від х. Позначимо цю функцію через де . Отже, силу тиску Рі на і-ту смужку можна обчислити за формулою (1), тобто



Підсумувавши сили тиску на всі смужки, знайдемо наближене значення сили тиску рідини на всю пластинку:



Точність наближеної рівності тим більша, чим коротші відрізки , на які поділено відрізок .

Отже, точне значення сили тиску рідини на пластинку визначають за формулою .

За означенням остання границя – це визначений інтеграл від функції на відрізку [a;b], тому силу тиску рідини на пластинку обчислюють за формулою .

Приклад 1.
Акваріум має форму прямокутного паралелепіпеда. Знайти силу тиску води (густина води 1000 кг/м3), яка наповнює акваріум, на одну з його вертикальних стінок, розміри якої 0,4 х 0,7 м.
Розв’язання.
Візьмемо систему координат так, щоб осі Оу і Ох відповідно містила верхню основу і бічну сторону вертикальної стіни акваріума. Щоб знайти силу тиску, скористаємось формулою (2).

Стінка має форму прямокутника, тому . Оскільки межі інтегрування a=0 i b=0,4, то дістанемо

.

Враховуючи, що м/с2 , маємо
3. Робота змінної сили.
Нехай матеріальна точка під дією сили F рухається по прямій. Якщо діюча сила стала, а пройдений шлях дорівнює s, то, як відомо з курсу фізики, роботу А цієї сили F обчислюють за формулою

. (1)

Перейдемо тепер до розгляду питання про знаходження роботи змінної сили. Нехай матеріальна точка рухається по осі Ох під дією сили, проекція якої на вісь Ох - це функція від х. Позначимо її через і припускатимемо, що f – неперервна функція. Нехай під дією сили F матеріальна точка перемістилась з точки М(а) у точку М(b). Доведемо, що робота в цьому разі обчислюється за формулою

. (2)

Поділимо відрізок [a; b] точками на n частин , однакової довжини . На кожному відрізку роботу сили можна наближено обчислювати за формулою (1), тобто вважати, що вона дорівнює де - деяка точка відрізка . Тоді робота сили на відрізку [a; b] наближено виражатиметься формулою .

Точність наближення буде тим точнішою, чим коротшими є відрізки , на які поділено відрізок [a; b]. Тому, переходячи в останній рівності до границі при , дістаємо

(3)

Отже, робота змінної сили обчислюється за формулою (3).
Приклад 1.

Сила пружності пружини, розтягнутої на 0,05м, дорівнює 3Н. Яку роботу треба виконати, щоб розтягти пружину на ці 0,05м?
Розв’язання.
За законом Гука сила F, яка розтягує або стискає пружину, пропорційна цьому розтягу або стиску, тобто , де х – величина розтягу або стиску, k - коефіцієнт пропорційності. З умови випливає, що , тобто k=60, отже, F=60х.

Використовуючи формулу (3), дістаємо

(Дж).

4. Економічний зміст визначеного інтеграла.
Якщо - продуктивність праці в момент часу , то

- обсяг продукції, що випускається за проміжок часу ;

- обсяг продукції, що випускається за проміжок часу .

Приклад 1.
Знайти обсяг продукції, виробленої за чотири роки, якщо продуктивність праці характеризується формулою .
Розв’язання.
Скористуємося формулою (6.38). Обсяг виробленої продукції дорівнює:

.

Використаємо метод інтегрування частинами:


5. Знаходження капіталу за відомими інвестиціями
Розглянемо задачу знаходження капіталу (основних фондів) за відомими частими інвестиціями . Чисті інвестиції (капіталовкладення)- це загальні інвестиції, які були зроблені за певний проміжок часу, за винятком інвестицій на відшкодування основних фондів (капіталу), які виходять з ладу. Таким чином, за одиницю часу капітал збільшується на суму чистих інвестицій.

Якщо капітал розглядати як функцію часу , а чисті інвестиції, відповідно, як , то викладене вище можна записати у вигляді:

.

Часто вимагається знайти приріст капіталу за період з моменту часу до , тобто величину . Враховуючи, що - первісна для функції , маємо:

.

Приклад 1.
Чисті інвестиції задано функцією .

Визначити:

а) приріст капіталу за три роки;

б) термін часу (у роках), після якого приріст капіталу складає 50000.
Розв’язання.
а) Скористаємося формулою для обчислення , поклавши поклавши =0; =3.

.

б) Позначимо шукану тривалість часу через Т, тоді

.

Підставляємо і .








Розглянемо приклади задач фізичного змісту, для розв’язання яких доцільно використати інтеграл.

Задача 1.
При якій висоті рідини в циліндричній посудині радіусом сила тиску на дно посудини та на бічну стінку будуть однаковими?
Розв’язання.
Тиск рідини на стінки посудини Р= ρgһ, відповідно, сила тиску дорівнює . Тиск на бічну стінку залежить від глибини у: Р(y) = ρgy. Розіб’ємо подумки бічну стінку на кільцеві смужки висотою dy, тоді сила тиску смужки на глибині dF(y)= ρgy2πrdy. Повна сила знаходиться інтегруванням по всім кільцям:

F2 = dF(y) = ρg2πr ydy = πρgrһ2 .

З умови F1 = F2 отримуємо = r.

Задача 2.

До стелі ліфта, що вільно падає, прикріплено пружину з важком. Важок не коливається. Знайти максимальне значення сили пружності при миттєвій зупинці ліфта, якщо безпосередньо перед зупинкою ліфта сума потенціальної енергії важка дорівнювала 40 Дж. Коефіцієнт жорсткості пружини 500 Н/м. Тертям та масою пружини знехтувати. Потенціальну енергію сили пружності і сили тяжіння відраховувати від положення максимального розтягу пружини.
Розв’язання.
Згідно формули для роботи рівнодійної сили Еk - Еk0 = Аmg – Апружн

Так, як Аmg = mgxmaxп0, тобто, початковій потенціальній енергії важка, а

Апружн = = = .

Тоді маємо k0 = Еп0 - ,

тобто повна енергія

Еповн = Еk0 + Еп0 = . звідки

Fпружн = 200 Н
Задача 3.
Температура маси m ідеального газу з молярною масою М змінюється за законом Т = αV2, де α – відома стала. Яку роботу виконує газ при збільшенні його об’єму від V1 до V2? Чому дорівнює зміна внутрішньої енергії газу в цьому процесі? Отримує чи віддає газ тепло в цьому процесі?
Розв’язання.
Скористаємось рівнянням стану ідеального газу:



Роботу можна знайти методом інтегрування:



Для визначення внутрішньої енергії скористаємось формулою

,

Отже,



Згідно першого закону термодинаміки , теплота, надана тілу в цьому процесі, дорівнює д

> 0,

отже газ отримує теплоту.
Задача 4.
Над ν = 2 молями ідеального газу здійснюється цикл 1234(див рис),




Який складається із двох ізобар(12, при тиску Р1=100 кПа, та 34, при тиску Р3=272 кПа) та двох ізотерм (23, при температурі Т2= 700 К, та 41, при температурі Т1= 300 К).Знайти теплоту, яку газ поглинає за цикл.
Розв’язання.
Згідно першого закону термодинаміки, Q = ∆U +А. В коловому процесі зміна внутрішньої енергії дорівнює нулю, отже Q = А. на ізобарах 12 і 34 робота дорівнює

А12 = Р1 (V2 - V1), А34 = Р3 (V4 - V3),

або враховуючи рівняння стану в точках 1234

Р1V1 = Р3V4 = νRT1,

Р1V2 = Р3V3 = νRT2

отримуємо А12 + А34 = 0



Аналогічно,

,

Отже,

< 0

Підстановка даних із умови задачі дає Q = -3,32 кДж, теплота віддається, а не поглинається, тобто , в цьому циклі теплова машина працює як холодильник.
Задача 5.

Заряджений конденсатор ємності С замкнений на котушку індуктивності L. Знайти таку залежність від часу ємності конденсатора, при якій струм у колі збільшується прямо пропорційно часу. Електричним опором кола знехтувати.
Розв’язання.
За законом Фарадея, , так як за умовою задачі струму колі збільшується прямо пропорційно часу:. отже, і напруга на конденсаторі, що дорівнює напрузі на котушці в будь – який момент часу, теж залишається сталою:

,

де - початковий заряд на конденсаторі, - заряд, який стік із обкладок конденсатора за час t , а C - ємність конденсатора в момент t. З рівності знаходимо струм:



Тоді повний заряд, що стікає з конденсатора за час дорівнює



Підставивши цей вираз для заряду у формулу, отримуємо



Зауважимо, що ця відповідність буде правильною за умови, що q < q0.
Задача 6.
Дві частинки, які мають масу 5 мг, 2 мг і заряди, що дорівнюють +12 нКл та + 7 нКл, рухаються назустріч одна одній, маючи вдалині відносну швидкість 18 км/год. На яку найменшу відстань зблизяться частинки?
Розв’язання.
Задачу можна розв’язати трьома способами, враховуючи вибір системи відліку:

1) (ІСВ) – інерціальна система відліку(пов’язана з Землею);

2) система відліку, яка зв’язана з центром інерції системи двох частинок;

3) НІСВ – неінерціальна система відліку, тобто одна частинка нерухома, а інша рухається назустріч першій з відносною швидкістю (vвідн)

Розглянемо третій спосіб. Виберемо систему, яка рухається поступово разом з однією із заряджених частинок, наприклад, з першою. Ця система – неінерціальна. У ній перша частинка нерухома, а друга рухається назустріч першій з початковою швидкістю (vвідн). Система вважається незамкненою, оскільки на неї діють сили інерції, які потрібно вважати зовнішніми відносно системи.

Але ми знаємо, що зміна енергії системи дорівнює роботі (А) сили інерції (Fін), що діє на частинку (m2) під час її наближення до частинки (m1).

, де W2 – кінцева енергія, при r = rmin, яка дорівнює потенціальній енергії кулонівської взаємодії, тобто

;

,

Оскільки в момент найбільшого зближення друга частинка має нульову швидкість. W1-початкова енергія системи частинок, яка дорівнює кінетичній енергії другої частинки



А – робота сили інерції, визначається за допомогою інтеграла



Врахувавши, що , де F – кулонівська сила.

Знаючи , тоді

, вважаючи.

Прирівняємо роботу зі зміною енергії:



Частинка зблизиться на мінімальну відстань 4 см.
Задача 7.
Магнітне поле створюється провідником зі струмом, сила якого 50 А.У полі розміщена рамка. Так що дві великі сторони довжиною 65 см паралельні провіднику, а відстань від провідника до найближчої сторони рівна її ширині. Який магнітний потік пронизує рамку?
Розв’язання.
Магнітна індукція поля провідника визначається:

, де r – відстань до провідника.

Магнітний потік що пронизує рамку визначається за законом:

, де , а B- зменшується з віддаленням від провідника. Розіб’ємо площу рамки на окремі ділянки, елементарна площа яких. Для визначення магнітного потоку звернемось до процесу інтегрування:

;

Підрахунки дають значення 4,5 мкВб.
1   2   3

Схожі:

У сучасному світі все стрімко змінюється. Це стосується І найстарішої...
На уроках геометрії ми вивчаємо кола, паралелограми, трикутники, квадрати І т.І. Проте в природі здебільшого об'єкти «неправильні»...

Застосування похідної до дослідження функцій. Мета
Організація діяльності учнів з узагальнення застосування похідної до дослідження функцій

Орієнтовний тематичний план розподільного вивчення алгебри І початків...
Найпростіші показникові рівняння. Зведення деяких показникових рівнянь до найпростіших

Програма пояснювальна записка мета
...

Н. М. Нікітіна нерівності з однією змінною
Рецензент: Акуленко І. А., кандидат педагогічних наук, доцент кафедри алгебри, геометрії та методики викладання математики (Черкаський...

План-конспект уроку геометрії в 7-му класі Кобеляцької зош І-ІІІ ступенів №2
Мета уроку. Узагальнити та систематизувати навчальний матеріал по темі «Трикутники»

Уроку
Перша частина посібника містить орієнтовне календарно-тематичне планування з алгебри І початків аналізу та з геометрії для фізико-математичного...

Контрольні роботи з геометрії для учнів 11 класу екстернатної форми...
При яких значеннях р кут між векторами ā = ( 1; 1; 0) І ē ( 0; 4; р) дорівнює 600 ?

1. Розділ математики, що вивчає властивості дій над різноманітними...
Французький філософ, фізик, фізіолог, математик, основоположник аналітичної геометрії, запровадив сучасну систему координат

Програма з математики
Програма з математики для вступників до вищих навчальних закладів І та II рівнів акредитації у 2014 р складається з трьох розділів....



База даних захищена авторським правом © 2017
звернутися до адміністрації




a.ocvita.com.ua
Головна сторінка