Пошук по сайту

Алгебра  лекції  Курсова робота  Рефераты  

У сучасному світі все стрімко змінюється. Це стосується І найстарішої науки математики. На уроках геометрії ми вивчаємо кола, паралелограми, трикутники

У сучасному світі все стрімко змінюється. Це стосується І найстарішої науки математики. На уроках геометрії ми вивчаємо кола, паралелограми, трикутники







Вступ

У сучасному світі все стрімко змінюється. Це стосується і найстарішої науки - математики. На уроках геометрії ми вивчаємо кола, паралелограми, трикутники, квадрати і т.і. Проте в природі здебільшого об'єкти «неправильні» - зазубрені, поїдені ходами і отворами. З цього приводу родоначальник фракталів Б. Мандельброт у своїй книзі «Фрактальна геометрія природи» звертає увагу на наступне:

«Чому геометрію часто називають «холодною» та «сухою»? Одна з причин полягає в її непристосованості описувати форму хмари, гори, берегової лінії або дерева. Хмари - не сфери, гори - не конуси, берегові лінії - не кола, деревна кора не гладка, а блискавка поширюється не по прямій. У більш загальному плані я стверджую, що багато об'єктів у природі настільки іррегулярні (від латинського неправильний, не підпорядкований певному положенню, порядку) і фрагментовні, що в порівнянні з Евклідом - термін, який в цій роботі означає всю стандартну геометрію, - природа володіє не просто більшою складністю, а складністю зовсім іншого рівня. Число різних масштабів довжин природних об'єктів для всіх практичних цілей нескінченно[ 5, с. 25]».

Перш за все, фрактали - область дивного математичного мистецтва, коли за допомогою простих формул і алгоритмів утворюються картини надзвичайної краси і складності! У контурах побудованих зображень часто вгадуються листя, дерева і квіти.

Актуальність теми.

Достоїнства алгоритмів фрактального стискування зображень - дуже маленький розмір упакованого файлу і малий час відновлення картинки. Фрактальне упаковані картинки можна масштабувати без пікселізації. Але процес стискування займає тривалий час і інколи триває годинами. Алгоритм фрактальної упаковки з втратою якості дозволяє задати міру стискування, аналогічно формату jpeg. У основі алгоритму лежить пошук великих шматків зображення подібних деяким маленьким шматочкам. І у вихідний файл записується лише який шматочок до якого подібний. При стискуванні зазвичай використовують квадратну сітку (шматочки - квадрати), що приводить до невеликої втрати якості при відновленні картинки, шестикутна сітка позбавлена такого недоліку.

Одні з найбільш потужних додатків фракталів лежить у комп'ютерній графіці. По-перше, це фрактальне стискування зображень, і по друге, побудова ландшафтів, дерев, рослин і генерування фрактальних текстур. Сучасна фізика і механіка тільки- тільки починають вивчати поведінку фрактальних об'єктів. І звичайно ж фрактали застосовуються безпосередньо в самій математиці.

Мене зацікавило одне з відкриттів тридцятирічної давності - відкриття фракталів - дивно красивих і таємничих геометричних об'єктів.

У своїй роботі я приділив основну увагу різним визначенням фракталів, класифікації фракталів, зв'язку фракталів з природою і мистецтвом.

Мета, задачі дослідження.

  • З'ясувати, що таке фрактал;

  • Виділити основні види фракталів;

З'ясувати, в яких областях науки і техніки використовуються фрактали.

Гіпотези:

Чи існує зв'язок між фракталами і

  • трикутником Паскаля.

  • фігурними числами.

  • літературними творами

Мета роботи :

Спростувати або довести гіпотези, поставлені в роботі.

Завдання дослідження :

  • Опрацювати і проаналізувати літературу по темі дослідження.

  • Розглянути різні види фракталів, їх класифікацію.

  • Зібрати колекцію фрактальних образів для первинного ознайомлення зі світом фракталів.

  • Встановити взаємозв'язки між трикутником Паскаля, літературними творами, фігурними числами і.

Методи дослідження :

- теоретичний(вивчення і теоретичний аналіз наукової і спеціальної літератури; узагальнення досвіду);

- практичний( складання розрахунків, узагальнення результатів)

Наукова новизна одержаних результатів.

З'ясовано, в яких областях науки і техніки використовуються фрактали.

Встановлений зв'язок між фракталами трикутником Паскаля, літературними творами, фігурними числами і золотим перерізом.

Практичне значення одержаних результатів.

Роль фракталів сьогодні досить велика. Вони приходять на допомогу коли потрібно за допомогою декількох коефіцієнтів задати лінії і поверхні дуже складної форми. Фактично, знайдений спосіб допомогає знайти зв'язок між фракталами та іншими галузями науки

Особистий внесок автора роботи.

У процесі дослідження була виконана наступна робота:

  1. Аналіз і опрацювання літератури по темі дослідження.

  2. Розгляд і вивчення різних видов фракталів.

  3. Збір колекції фрактальних образів для первинного ознайомлення зі світом фракталів.

  4. Встановлення взаємозв'язків між фракталами і трикутником Паскаля, літературними творами, фігурними числами.

Ця тема дуже захоплива і змістовна, розвиває пізнавальний інтерес до математики. Дуже сподіваюся, що цей проект принесе користь і ровесникам, і старшокласникам, і вчителям. Історія математики повна несподіваних і цікавих фракталів, і дуже часто їх розв’язок служив поштовхом до нових відкриттів, з яких,у свою чергу, зростали нові фрактали.

РОЗДІЛ 1 Фрактал. Історія його виникнення. Класифікація фракталів

1.1. Фрактал. Історія його виникнення

В
Рис. 1 Фрактал
се, що створено людиною, обмежено площинами. Коли зустрічається об’єкт у природі, то спочатку можна побачити, що описати його форму можна лише наближено і допоможуть у цьому фрактали. Де закінчуються правильні форми Евклідової геометрії, там зустрічаються фрактали. [ 6, с. 125]

Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) – нерегулярна, самоподібна структура. У широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої « рис.1».Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. В етноматематиці, наприклад в роботах Рона Еглаша "Африканські Фрактали", задокументовано поширені фрактальні геометричні фігури в мистецтві тубільців. У 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю “Керівництво художника”, один із розділів якої має назву "Черепичні шаблони, утворені пентагонами". Пентагон Дюрера багато в чому є схожим на килим Серпінського, але замість квадратів використовуються п'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти, дуже схожі на фрактали. Ідею "рекурсивної самоподібності" було висунуто філософом Лейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. У 1872 Карл Веєрштрасс знайшов приклад функції з неінтуїтивною особливістю, скрізь неперервної, але ніде недиференційованої — графік цієї функції тепер називався б фракталом. У 1904році Хельга Фон Кох, незадоволена занадто абстрактним та аналітичним означенням Веєрштрасса, розробила більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих, котрі складаються із частин, схожих на ціле, було далі розвинено Полем П'єром Леві, який у своїй роботі «Криві та поверхні на площині та у просторі», виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві (рис.2 а, б, в).

а) б) в)

Рис. 2

Ґеорг Кантор навів приклади підмножин дійсних чисел із незвичними властивостями — ці множини Кантора тепер також визнаються як фрактали. [ 1, с. 32]

Ітераційні функції на комплексній площині досліджувались в кінці XIX та на початку XX століття Анрі Пуанкаре, Феліксом Кляйном, П'єром Фату та Ґастоном Жюліа. Проте за браком сучасної комп'ютерної графіки у них не вистачило засобів відобразити красу багатьох із відкритих ними об'єктів.

У 1975 році Мандельброт використав слово фрактал як назву для об'єктів Хаусдорфа, розмірність яких є більшою за топологічну розмірність, наприклад Крива Хильберта (Рис.3 а,б,в,г).





Рис.3

Бенуа Мандельброт (фр. Benoît Mandelbrot)

(20 листопада 1924 — †14 жовтня 2010) — французький математик польського походження, засновник фрактальної геометрії. Його ім'я відоме багатьом в зв'язку з фракталом, названим на його честь, — множиною Мандельброта. Математик також займався економікою, теорією інформації, космологією та іншими науками. Мандельброт є лауреатом премії Вольфа з фізики у 1993 році, Японської премії за інноваційні ідеї в науці у 2003 році та інших численних нагород.

Бенуа Мендельброт народився у єврейській родині у Варшаві в 1924 році. Але вже у 1936 році родина Бенуа емігрувала у Францію, в Париж. У Парижі він потрапив під вплив свого дядька Шолема Мандельброта, відомого паризького математика, викладача Колеж де Франс, члена групи математиків, відомої під загальним псевдонімом «Ніколя Бурбакі».

Після початку війни Мандельброти переїхали на південь Франції, у містечко Тюль. Там Бенуа навчався у школі. У нього відкрився незвичайний математичний дар, який дозволив йому після війни стати студентом Політехнічної школи (1945—1947). Виявилося, що в Бенуа чудова просторова уява. Він навіть алгебраїчні завдання розв'язував геометричним способом. Оригінальність його рішень дозволила Мандельброту вступити до університету.

Після Політехнічної школи у 1947—1949 р.р .Бенуа вивчав аеронавтику у Каліфорнійському технологічному інституті. Він захистив докторську дисертацію з математики («Ігри комунікацій») у 1952 в Сорбонні. У 1958 він переїхав у США, де приступив до роботи в науково-дослідному центрі IBM в Йорктауні, оскільки IBM у той час займалася саме цікавими для Бенуа Мандельброта областями математики. [ 5, с. 8]

1.2. Класифікація фракталів. (Додаток А)

Головна відмінність фракталів, створених людиною і природних фракталів це те, що ті фрактали, які були придумані вченими, при будь-якому масштабі мають фрактальні властивості. А якщо розглядати природні фрактальні об'єкти, то при більш детальному їх розгляді ми, врешті-решт, підійдемо до масштабу, де починають проявлятися квантові ефекти. Це означає, що природні фрактали не мають субструктур, що нескінченно повторюються, і не можуть демонструвати нескінченну самоподібність. У цьому полягає особливість природних фракталів. Для природних фракталів у класифікаційній таблиці використаний термін - "фізичні фрактали", щоб підкреслити їх «нерукотворність».

Фрактали створені вченими також мають класифікацію(Додаток Б)

Зі схеми видно, що весь неосяжний світ фракталів поділяється на три групи.

1.2.1. Геометричні фрактали

Геометричні (детерміновані, лінійні, прості) фрактали найнаочніші оскільки відразу видно самоподобність. Саме з них почалася історія фракталів. Це і є ті функції-монстри, яких так називали за недиференційованість у кожній точці. У двомірному випадку їх отримують за допомогою деякої ламаної (чи поверхні в тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен з відрізків, складових ламаої, замінюється на ламану-генератор у відповідному масштабі. У результаті нескінченного повторення цієї процедури, виходить геометричний фрактал. У машинній графіці використування геометричних фракталів потрібне при отриманні зображень дерев, кущів, берегової лінії. Двомірні геометричні фрактали використовуються для створення об'ємних текстур (малюнка на поверхні об'єкту). Фрактали цієї групи не лише найнаочніші, але і простіші. [ 1, с. 62]

Канторовська множина (Додаток В)

Рецепт її побудови полягає в наступному.

Спочатку береться відрізок прямої одиничної довжини. Потім він поділяється на три рівні частини, і виймається відрізок в середині, що знаходиться між точками 1/3 і 2/3. Це перший крок ітераційної процедури. На другому кроці подібній же процедурі ділення на три рівні частини і наступного видалення середини піддається кожен з двох відрізків, що залишився. Так триває до безкінечності. Легко побачити, що сумарна довжина відрізків дорівнює нулю, оскільки ми виключили в результаті довжину, рівну 1:



группа 25 Отже, виникла множина яка є нескінченним числом ізольованих точок, яке і дістало назву Канторовська множина.




Рис 4. Крива Кох

Ще одним дуже відомим геометричним фракталом є крива Кох, названа так на честь шведського математика Хельги фон Кох, що відкрила її ще в 1904 році. Різновиди цієї кривої дуже часто використовуються при наведенні прикладів по даній темі. Один з найбільш відомих різновидів кривої Коха і буде розглянута далі в моїй роботі.

Для того, щоб побудувати цей фрактал, треба послідовно виконати нескінченне число кроків. Початковий крок - нульовий. Візьмемо відрізок довільної довжини (мал. 6, а) і поділимо його на три рівні частини. На середньому відрізку CD побудуємо правильний трикутник CED, чию основу CD ми потім видалимо. Ми отримаємо криву ACEDB, у якої усі ланки рівні (Рис. 5, б).

Д
Рис 6. Снежинка Кох

ругий крок: кожна з ланок AC, CE, ED, DB знову поділимо на три рівні частини і побудуємо на середніх відрізках правильні трикутники, чиї підстави ми потім видалимо. Ми отримаємо нову ламану AMKNCLPFEQRSDTUXB (Рис. 5, в). Другий крок закінчений. Продовжуючи цей процес до безкінечності, ми і отримаємо шуканий фрактал - криву Кох. Як видно на малюнку 7, крива Кох дуже точно імітує сніжинку, тому замкнуту криву Кох називають ще і сніжинкою Кох (Рис. 6).

Безумовно, наведені мною приклади геометричних фракталів не є єдиними. Існує ще величезна кількість інших, ще складніших і цікавіших фракталів.

Наприклад, дуже цікавою, а тому відомою є крива Гильберта. Початковим елементом є відрізки, твірні криву, схожу на букву "П".

У кожньому з наведених прикладів мі розглянули декілька послідовних стадій перетворення початкової фігури. Кожна з отриманих на окремому етапі фігур називається передфракталом, і їх саме подібність очевидна. Справжній фрактал вийде, якщо число кроків алгоритму побудови прагнутиме до нескінченності. [4, с. 121]

Геометричні фрактали мають колосальне практичне значення. Застосовуючи їх в машинній графіці, учені навчилися отримувати складні об'єкти, схожі на природні : зображення сніжинок, гірських вершин, штучних хмар, дерев, кущів, гілок, берегової лінії тощо.

1.2.2.Алгебраїчні фрактали

Простий приклад алгебраїчних фракталів – це геометрична прогресія 1, 2, 4, 8,16,32,...,2n,2 n +1,.. Якщо відкинути перші три члени, то отримаємо послідовність 8,16,32,...,2n,2n +1,... Це також геометрична прогресія, причому з тим же знаменником. Крім того, її можна отримати з початкової прогресії множенням всіх членів на 8. Вона «подібна» вихідної прогресії з коефіцієнтом 8. Звичайно, аналогічний ефект автоподібності залишиться вірним і при відкиданні будь-якого числа початкових членів. Другий приклад алгебраїчних фракталів – це геометрична прогресія …, , , , 1, 3, 9, 27, … Помноживши кожен член цієї прогресії на 3, отримаємо послідовність …, , , 1, 3, 9, 27, 81, …, яка виявилася тією ж самою прогресією.

А
Рис. 7 Множина Мондельброта
лгебраїчні (комплексні) фрактали - це найбільша група фракталів. Свою назву вони отримали за те, що їх будують, використовуючи прості алгебраїчні формули. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найбільш вивчені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна користуватися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, сталий процес, аттрактор і т.д. Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Той стан, в якому опинилася динамічна система після деякого числа ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожний стійкий стан (або як кажуть - аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить в аналізовані кінцеві стану. Якщо фазовим є двомірний простір, то, забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Міняючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури. [ 7, с. 39]

1.2.3. Стохастичні фрактали

Третя група – це стохастичні фрактали. Фрактали, при побудові яких у ітеративної системі випадковим чином змінюються будь-які параметри. Термін "стохастичність" походить від грецького слова, що означає "припущення". Також прикладом випадковості в природі є броунівський рух. За допомогою комп'ютера такі процеси будувати досить просто, тому що він дозволяє генерувати послідовності випадкових чисел. Ці фрактали використовуються при моделюванні рельєфів місцевості і поверхні морів, процесу електролізу.

Ініціатором сніжинки є пряма, а точніше три відрізки прямих, що перетинаються в одній точці (Рис. 8 а). Для краси і наочності бажано брати відрізки, для яких точка перетину є середина (назву цю фігуру Z). Потім на кінці цих відрізків поміщаємо такі ж фігури Z (Рис. 8 б, в, г), і робимо це нескінченно. Так ми отримуємо Сніжинку Кох, яка зовні схожа з цією сніжинкою, в цьому є відмінність стохастичних фракталів від інших. [ 5, с. 72]

Рис. 8



а б в г

РОЗДІЛ 2 . Знаходження фрактальної структури у трикутнику Паскаля,

фігурних числах, літературних творах.

2.1.Трикутник Паскаля.

Облаштування трикутника Паскаля - бічні сторони одиниці, кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним. Трикутник можна продовжувати необмежено.Трикутник Паскаля служить для обчислення коефіцієнтів розкладання виразів виду(x+1) n. Розпочавши з трикутника з одиниць, обчислюють значення на кожному послідовному рівні шляхом складання сусідніх чисел; останньою ставлять одиницю. Таким чином, можна визначити, наприклад, що (x + 1) 4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1x0

При виділенні непарних чисел в трикутнику Паскаля виходить трикутник Серпінського. Візерунок демонструє властивість коефіцієнтів, вживану при «арифметизації» комп'ютерних програм, яка перетворить їх в рівняння алгебри.

2.2. Фігурні числа.

Піфагор уперше, в VI до нашої ери, звернув увагу на те, що, допомагаючи собі при рахунку камінчиками, люди іноді вибудовують камені в правильні фігури. Можна просто класти камінчики в ряд: один, два, три. Якщо класти їх в два ряди, щоб виходили прямокутники, ми виявимо, що виходять усі парні числа. Можна викладати камені в три ряди: вийдуть числа, що діляться на три. Всяке число, яке на що-небудь ділиться, можна представити прямокутником, і тільки прості числа не можуть бути « прямокутниками». [ 3, с. 144]

  • Лінійні числа — числа, що не розкладаються на співмножники, тобто їх ряд співпадає з рядом простих чисел, доповненим одиницею :(1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...). Це прості числа.

  • Плоскі числа — числа, уявні у вигляді твору двох співмножників (4,6,8,9,10,12,14,15,...)

  • Тілесні числа — числа, що виражаються твором трьох співмножників (8,12,18,20,24,27,28,...) і т. д.

Многокутні числа:

Розглянемо кожну групу чисел.

  • Трикутні числа:(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)



Перше число - 1. Наступне число - 3. Воно виходить збільшенням до попереднього числа, 1, двох точок, щоб шукана фігура стала трикутником. На третьому кроці ми додаємо три точки, зберігаючи фігуру трикутник. На подальших кроках додається n точок, де n - порядковий номер трикутного числа. Кожне число виходить додаванням до попереднього певної кількості точок. З цієї властивості вийшла рекурентна формула для трикутних чисел:

t n=n+t n - 1.

  • Квадратні числа є твором двох однакових чисел, тобто є повними квадратами:(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., n2, ...)



Перше число - 1. Наступне число - 4. Воно виходить збільшенням 3 точок до попереднього числа у вигляді прямого кута, щоб вийшов квадрат. Формула для квадратних чисел дуже проста, вона виходить з назви цієї групи чисел : gn = n2. Але також, окрім цієї формули, можна вивести рекурентну формулу для квадратних чисел. Для цього розглянемо перші п'ять квадратних чисел:

g1 = 1

g
gn = gn-1+2n-1
2 = 4 = 1+3 = 1+2 2-1

g3 = 9 = 4+5 = 4+2 3-1

g4 = 16 = 9+7 = 9+2 4-1

g5 = 25 = 16+9 = 16+2 5-1

  • П'ятикутні числа:(1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)



Перше число - 1. Наступне число - 5. Воно виходить збільшенням чотирьох точок, таким чином, фігура, що вийшла, набуває форми п'ятикутника. Одна сторона такого п'ятикутника містить 2 точки. На наступному кроці на одній стороні буде 3 точки, загальна кількість точок - 12. Спробуємо вивести формулу для обчислення п'ятикутних чисел. Перші п'ять п'ятикутних чисел: 1, 5, 12, 22, 35. Вони утворюються таким чином:

f1 = 1

f2 = 5 = 1+4 = 1+3 2-2

f
fn = fn-1+3n-2
3 = 12 = 5+7 = 5+3 3-2

f4 = 22 = 12+10 = 12+3 4-2

f5 = 35 = 22+13 = 22+3 5-2

  • Шестикутні числа(1, 6, 15, 28, 45, ...)



Перше число - 1. Друге - 6. Фігура виглядає як шестикутник із стороною в 2 точки. На третьому кроці вже 15 точок вибудовуються у вигляді шестикутника із стороною 3 точки. Виведемо рекурентну формулу:

u1 = 1

u
un = un-1+4n-3

2 = 6=1+4 2-3

u3 = 15 = 6+4 3-3

u4 = 28 = 15+4 4-3

u5 = 45 = 28+4 5-3

Якщо подивитися уважніше, то можна помітити зв'язок між усіма рекурентними формулами.

Для трикутних чисел: tn=t n - 1+n= t n - 1+1n-0

Для квадратних чисел: gn = g n - 1+2n-1

Для п'ятикутних чисел: fn = f n - 1+3n-2

Для шестикутних чисел: un = u n - 1+4n-3

Ми бачимо, що фігурні числа побудовані на повторюваності: це добре видно на рекурентних формулах. Можна сміливо стверджувати, що фігурні числа у своїй основі мають фрактальну структуру.

2.3.Літературни твори.

Розглянемо фрактал саме як витвір мистецтва, причому що характеризується двома основними характеристиками:

1) частина його деяким чином подібна до цілого(в ідеалі, ця послідовність подібностей поширюється на нескінченність, хоча ніхто ніколи не бачив дійсно нескінченної послідовності ітерацій, що будують сніжинку Кох;

2) його сприйняття відбувається по послідовності вкладених рівнів. Помітимо, що чарівність фрактала якраз і виникає на шляху дотримання по цій заворожливій і запаморочливій системі рівнів, повернення з якої не гарантоване.

Як же можна створити нескінченний текст? Це питання ставив герой розповіді Х.-Л.Борхеса «Сад стежинок», що розходяться : «Я задавався питанням, як може книга бути нескінченною. У голову не приходить нічого, окрім циклічного тому, тому, в якому остання сторінка повторює першу, що йде по кругу, що і дозволяє йому тривати скільки завгодно».

Подивимося, які ще рішення можуть існувати. Найпростїшим нескінченним текстом буде текст з нескінченної кількості елементів, що дублюються, або куплетів, частиною якого, що повторюється, є його « хвіст» - той же текст з будь-якою кількістю відкинутих початкових куплетів. Схематично такий текст можна зображувати у вигляді дерева, що не розгалужується, або періодичної послідовності куплетів, що повторюються. Одиниця тексту - фраза, строфа або розповідь, починається, розвивається і закінчується, повертаючись у вихідну точку, точку переходу до наступної одиниці тексту, що повторює початкову. Такий текст можна уподібнити нескінченному періодичному дробу: 0,33333., її ще можна записати як 0,(3). Видно, що відсікання « голови» - будь-якої кількості початкових одиниць, нічого не змінить, і « хвіст» в точності співпадатиме з цілим текстом.

Серед таких нескінченних творів - вірші для дітей або народні пісеньки, як, наприклад, вірш про попа і його собаку з російської народної поезії, або вірш М.Яснова «Чучело-мяучело», що оповідає про кошеня, яке співає про кошеня, яке співає про кошеня.

Їду я і бачу міст, під мостом ворона мокне

Узяв ворону я за хвіст, поклав її на міст, нехай ворона сохне.

Їду я і бачу міст, на мосту ворона сохне

Узяв ворону я за хвіст, поклав її під міст, нехай ворона мокне.

На відміну від нескінченних куплетів, фрагменти фракталів Мандельброта все ж не тотожні, а подібні один до одного, і ця якість і надає їм чарівність. Тому у вивченні літературних фракталів встає завдання пошуку подібності, схожості(а не тотожності) елементів тексту.

У разі нескінченних куплетів заміна тотожності на подібність була здійснена різними способами. Можна привести, принаймні, дві можливості:

1) створення віршів з варіаціями,

2) тексти з нарощуваннями.

Вірші з варіаціями - це, наприклад, українська народна пісня (Додаток Г)

Ще одна можливість криється в текстах з « приростами». Такі відомі нам з дитинства казки про ріпку або про колобка, в кожному епізоді яких кількість персонажів збільшується: (Додаток Д)

Такі тексти мають структуру « ялиночки» або « матрьошки», у яких кожен рівень повторює попередній зі збільшенням розміру зображення.

В Українській літературі аналогом є казка «Рукавичка».

Поетичний твір, в якому кожен куплет може бути прочитаний незалежно, як окремий « поверх» ялиночки, а також разом, складаючи текст, що розвивається від Одного до Іншого, і далі до Природи, Світу і Всесвіту, створений Т.Васильевой:(Додаток Е)

Тепер, я думаю, можна зробити висновок, що існують літературні твори, що мають фрактальну структуру.

Висновоки

Результати дослідження

У моїй роботі ви прочитали цікаву інформацію про фрактали, їх види, розмірність і властивості, про їх застосування, а також про трикутник Паскаля, фігурні числа, про фрактальні літературні твори і багато що інше.

В процесі дослідження була виконана наступна робота:

  1. Проаналізована і опрацьована література по темі дослідження.

  2. Розглянуті і вивчені різні види фракталів.

  3. Зібрана колекція фрактальних образів для первинного ознайомлення зі світом фракталів.

  4. Встановлені взаємозв'язки між фракталами і трикутником Паскаля, літературними творами, фігурними числами і золотим перерізом.

Я переконався, що тим, хто займається фракталами, відкривається прекрасний, дивовижний світ, в якому панують математика, природа і мистецтво. Я думаю, що після знайомства з моєю роботою, ви, як і я, переконаєтеся в тому, що математика прекрасна і дивовижна.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фрактали і мультифрактали. Іжевськ: НИЦЬ «Регулярна і хаотична динаміка», 2001. - 128с.

2. Волошинов А. В. Математика і мистецтво : Кн. для тих, хто не лише любить математику і мистецтво, але і бажає замислитися про природу прекрасного і красу науки. 2-е видавництво, дораб. і доп. - М.: Просвіта, 2000. - 399с.

3. Гарднер М. А. Ненудна математика. Калейдоскоп головоломок . М.: АСТ: Астрель, 2008. - 288с.: мул.

4. Гринченко В. Т., Мацыпура В.Т., Снарский А.А. Введення в нелінійну динаміку. Хаос і фрактал. Видавництво: ЛКИ, 2007 р. 264 стор.

5. Мандельброт Б. Фрактальна геометрія природи. — М.: «Інститут комп'ютерних досліджень», 2002.

6. Річард М. Кроновер Фрактали і хаос в динамічних системах Introduction to Fractals and Chaos. Видавництво: Техносфера, 2006 р. 488 стор.

7. Шредер М. Фрактали, хаос, статечні закони. Мініатюри з нескінченного раю. — Іжевськ: « РХД», 2001.

« ІНТЕРНЕТ - РЕСУРСИ»

http://www.ru.wikipedia.org

http://www.fractals.narod.ru/tips.htm

http://algolist.manual.ru/graphics/fracart.php

http://sakva.narod.ru/fractals.htm

http://shakin.ru/creative/fractals.html

ДОДАТКИ
Додаток А



Додаток Б




стрелка вниз 14стрелка вниз 14стрелка вниз 14



Додаток В


Додаток Г

Як служив же я у пана
Тай на перше літо та літо
Заробив же я у пана
Курочку за літо.

А та курка-чубатурка
Нема пірев сама шкурка
По садочку ходить та й ходить,
Курчаточок водить та й водить.

Як служив же я у пана
Тай на друге літо та літо
Заробив же я у пана
Качечку за літо.

А те качка ках ках ках ках
А та курка-чубатурка...
Нема пірев сама шкурка
По садочку ходить та й ходить,
Курчаточок водить та й водит

Як служив же я у пана
Тай на третє літо та літо
Заробив же я у пана
Гусочку за літо.

А те гуся суся-сюся,
А те качка ках ках ках ках
А та курка-чубатурка...
Нема пірев сама шкурка
По садочку ходить та й ходить,
Курчаточок водить та й водит

Як служив же я у пана
Та й четвертеє літо та літо
Заробив же я у пана
Індика за літо.

А той індик дик-дик, дик-дик,
А те гуся суся-сюся,
А те качка ках ках ках ках
А та курка-чубатурка...
Нема пірев сама шкурка
По садочку ходить та й ходить,
Курчаточок водить та й водит

Як служив же я у пана
Тай на пьяте літо та літо
Заробив же я у пана
Телятко за літо

А те теля хвосиом виля
А те гуся суся-сюся,
А те качка ках ках ках ках
А та курка-чубатурка...
Нема пірев сама шкурка
По садочку ходить та й ходить,
Курчаточок водить та й водит

Як служив же я у пана
Тай на шосте літо та літо
Заробив же я у пана
Дівчину за літо

А те дівча напилося
З печі впала тай вбилося
А те теля хвосиом виля
А те гуся суся-сюся,
А те качка ках ках ках ках
А та курка-чубатурка...
Нема пірев сама шкурка
По садочку ходить та й ходить,
Курчаточок водить та й водит

Додаток Д

«Терем»

Муха-горюха.

Муха-горюха, комар-пискун.

Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка.

Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка, жаба-квакуша.

Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка, жаба-квакуша, зайчик-попрыгайчик.

Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка, жаба-квакуша, зайчик- попрыгайчик, лисичка-сестричка.

Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка, жаба-квакуша, зайчик- попрыгайчик, лисичка-сестричка, волчище-серый хвостище.

Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка, жаба-квакуша, зайчик- попрыгайчик, лисичка-сестричка, волчище-серый хвостище, медведь-всех давиш.

Додаток Е


поділитися в соціальних мережах


Схожі:

А. М. Колмогоров Застосування визначеного інтеграла в геометрії, фізиці, економіці
Сила І загальність методу диференціального й інтегрального числення такі, що не ознайомившись з ними, не можна як слід зрозуміти...

План-конспект уроку геометрії в 7-му класі Кобеляцької зош І-ІІІ ступенів №2
Мета уроку. Узагальнити та систематизувати навчальний матеріал по темі «Трикутники»

Урок алгебри в 11 класі. Тема: «Елементи комбінаторики»
Процес розв’язування логічних задач потребує вищої розумової діяльності порівняно з процесом розв’язування стандартних задач. Зацікавити...

Пояснювальна записка цілі навчання математики. Навчання математики...
Ої невід’ємної складової загальної культури людини, необхідної умови її повноцінного життя в сучасному суспільстві на основі ознайомлення...

Пояснювальна записка цілі навчання математики. Навчання математики...
Ої невід’ємної складової загальної культури людини, необхідної умови її повноцінного життя в сучасному суспільстві на основі ознайомлення...

Уроках математики
Діяльнісний підхід та формування ключових компетентностей учнів на уроках математики

Уроках математики 5-6 класи 14
Розділ методика формування культури математичних записів на уроках математики 5-6 класи 14

Узагальнення, систематизація І рефлексія знань, набутих учнями на...
Узагальнення, систематизація І рефлексія знань, набутих учнями на уроках математики

Серед проблем, що постають перед сучасною освітою, є одна, яка кожного...
Тому використовую на своїх уроках методики навчання слабких учнів. Мій досвід показує, що застосування навчальних карток протягом...

«Забезпечення умов самореалізації учнів на уроках математики» актуальна...
Методичні рекомендації з теми: «Забезпечення умов самореалізації учнів на уроках математики»



База даних захищена авторським правом © 2017
звернутися до адміністрації




a.ocvita.com.ua
Головна сторінка