Пошук по сайту

Алгебра  лекції  Курсова робота  Рефераты  

А. М. Колмогоров Застосування визначеного інтеграла в геометрії, фізиці, економіці

А. М. Колмогоров Застосування визначеного інтеграла в геометрії, фізиці, економіці





Сторінка1/3
  1   2   3
Сила і загальність методу диференціального й інтегрального числення такі, що не ознайомившись з ними, не можна як слід зрозуміти все значення математики для природознавства і техніки і навіть оцінити всю красу і принадність самої математичної науки.

А.М.Колмогоров

Застосування визначеного інтеграла в геометрії, фізиці, економіці.
План.

І. Застосування визначеного інтеграла для обчислення об'ємів тіл.

Іа. Завдання для самостійної роботи.

Іб. Відповіді та вказівки.

ІІ. Застосування визначеного інтеграла у фізиці і економіці.

ІІа. Завдання для самостійної роботи.

ІІб. Відповіді та вказівки.
І. Застосування визначеного інтеграла для обчислення об'ємів тіл.



Мал.1
Нехай задано тіло T і координатна пряма 0х у просторі (мал.1). Проведемо площини, перпендикулярні до прямої 0х так, щоб вони перетинали тіло T або дотикались до нього. Дотичні площини, що обмежують тіло, перетнуть вісь 0х у точках a і b, а будь яка площина між ними перетне її а точці х. Позначимо площу перерізу тіла цією площиною через S. Кожному значенню х з відрізка [а; b] відповідатиме певне значення площі перерізу S = S(x). Площина перерізу буде відтинати тіло, об'єм якого є також функцією x, тобто V = V(x). Тому можна стверджувати, що на відрізку [а;b] визначена функція S(x). Якщо вона неперервна на відрізку [а;b], то функція V(x) є первісною для функції S(x) і справджується формула:

V =
Наведемо геометричні міркування, які приводять до вказаної формули.

Розіб'ємо відрізок [а;b] на n рівних частин точками
a=х01 < х2 < ... < хk -1 < хk < ...< хn-1 n =b
Позначимо довжини кожного з відрізків розбиття через ∆х= = хk - хk-1 де k = 1, 2, .... п. Через кожну точку розбиття проведено площину, перпендикулярну до осі Ох. Проведені площини розіб'ють тіло Т на шари, Об'єм шару, що міститься між площинами, які проходять через точки хk-1 і хk при досить малих ∆х (тобто досить великих п), наближено дорівнює добутку площі S(xn-1) на ∆х. Якщо утворити суму
Vn=S(х0)∆х+S(х1)∆х+ ... +S(хn-1 )∆х=(S(х0)+S(х1)+ ... +S(хn-1 ))· ,
то Vn ≈ V. Ця наближена рівність виконується з будь-якою точністю при досить великих п. Отже, цілком природно, що:
V = n = + S(x1) + S(x3) +… + S(xn-1))·.
Границю такої суми, як і в задачі про площу криволінійної трапеції, називають інтегралом і позначають .
Тому V = .

Наведемо приклади застосування формули для обчислення об'ємів різних тіл.
Приклад 1.
Знайти формулу об'єму кулі радіуса R.


Мал. 2

Розв'язання.

Оскільки в перерізі кулі утворюється круг, то розмістимо її так, щоб точка 0 відліку збігалася з проекцією центра 01 кулі (мал.2) на координатну пряму.

З ∆01КР, де, за теоремою Піфагора, КP2 = 01Р2 - 01К2. Оскільки 01Р = R, 01К= х, КР= r — радіус круга, який утворюється в перерізі, то r2 = R2 - х2, a S(x) = π(R2 - х2). Отже,

V = = -x2) = ( - ) = (R2 ·R - ) –

(R2 ·(-R) – ) = (R3 - +R3 - ) = R3 (куб.од.).

тобто об'єм кулі дорівнює R3.

Приклад 2.
Знайти формулу об'єму кругового циліндра з площею основи S і висотою H.


Мал.3
Розв'язання.
У кругового циліндра (похилого чи прямого) (мал. 3 а,б) будь-яка площа паралельних перерізів стала і дорівнює S. Тому координатну пряму 0Х проведемо перпендикулярно до площини основи, а точку відліку 0 виберемо в точці її перетину з площиною основи. Вісь 0Х перетне площину другої основи в точці H, де H — висота циліндра. Тоді:

V = = SH.

Формула V = SH виявилась однаковою і для похилого і для прямого кругового циліндра.
Приклад 3.
Знайти формулу об'єму піраміди з площею основи S і висотою H.

Мал.4

Розв'язання.
Нехай координатна пряма 0Х проходить через вершину піраміди перпендикулярно до площини її основи (мал.4). Виберемо за точку відліку вершину 0 піраміди.

Перетнемо піраміду площиною, паралельною площині основи на відстані х від вершини. Площа перерізу є функцією відстані х. За відомою теоремою з геометрії про відношення площ таких перерізів (вони є многокутниками, подібними основі піраміди).

= ()2 , S(x) = ·x2.

Тому:
V = = = = · = SH.
Отже, об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту.

Приклад 4.
Знайти формулу об'єму тіла обертання.


Мал.5


Розв'язання.
Розглянемо криволінійну трапецію аАВb, обмежену графіком неперервної функції у = f(x) (мал.5).
Під час обертання трапеції навколо осі 0X утвориться тіло обертання. Будь-яким перерізом тіла обертання є круг радіуса r = f(x). Площа перерізу S(x) = πr2 = πf 2(x), тому об'єм тіла обертання знайдемо за формулою
V = ƒ2(x) = .
Під час обертання трапеції навколо осі 0У утвориться тіло обертання. Будь-яким перерізом тіла обертання є круг радіуса r=f(у). Площа перерізу S(у) = πr2 =πf 2(у), тому об'єм тіла обертання знайдемо за формулою
V = ƒ2(у) = .

Приклад 5.
За формулою обчислимо, наприклад, об'єм прямого кругового конуса (мал.6), радіус основи якого дорівнює R, а висота — Н.


Мал.6
Розв’язання.
Для цього слід знайти спочатку рівняння прямої 0В. що проходить через точки 0(0;0) і В(Н;R). З курсу геометрії відомо, що рівняння прямої має вигляд

ах+bу+с =0.

Оскільки точки 0 і В належать цій прямій, то їхні координати задовольняють рівняння прямої. Підставляючи координати у рівняння, дістанемо дві рівності:

Підставляючи с = 0 у другу рівність, дістанемо аН+bR = 0. Звідси а = .

Підставимо значення а і с у рівняння прямої. Дістанемо: x + by = 0.

Поділимо обидві частини цієї рівності на b, матимемо x + y = 0.

Звідси y = x — рівняння прямої 0В.
Отже, f(x) = x.

V = = · = R2H.
Тобто об'єм конуса дорівнює одній третині добутку площі основи πR2 на висоту Н.

За допомогою формули об'єму тіла обертання можна обчислити аналогічно об'єм циліндра.


Приклад 6.
Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням параболічного сегмента з висотою H і основою 2R навколо осі симетрії (мал.7).

Мал.7.


Розв'язання.
При такому виборі осей координат рівняння параболи має вигляд у2 = kx. Щоб знайти k, врахуємо, що точка А(Н;R) належить параболі, тому її координати задовольняють рівняння параболи. Підставляючи у рівняння замість x число Н, а замість у — число R, дістанемо R2 = kH. Звідси k = . Підставляючи значення k у рівняння параболи, матимемо y2 = x2.
Шуканий об'єм тіла знайдемо за формулою :
V = (x) , де у = f(x).
V = = · = R2H.

Іа. Завдання для самостійної роботи.
1. Обчислити об’єм тіла, що утворюється в результаті обертання графіка функції f(x) = навколо осі ОХ та обмеженого прямими х = 0 і х = .

2. Обчислити об’єм тіла, що утворюється в результаті обертання графіка функції у = навколо осі ОХ та обмеженого прямими х = 1, х = 2.

3. Обчислити об’єм тіла, що утворюється в результаті обертання графіка функції f(x) = навколо осі ОУ, що обмежене прямими у = 0, у = 4.

4. Обчислити об’єм тіла, що утворюється в результаті обертання графіка функції у = навколо осі абсцис та обмеженого прямими х = 1, х = 4.

5. Обчислити об’єм тіла, утвореного в результаті обертання навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = 2х + 4, у = 0 та х = 0.

6. Обчислити об’єм тіла, утвореного в результаті обертання навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = , у = 0, х = 0 та х = 4.

7. Обчислити об’єм тіла, утвореного в результаті обертання навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = , у = 0, - .

8. Обчислити об’єм тіла, утвореного в результаті обертання навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = , прямими у = 0 та х = 2.

9. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = 2х + 1, х = 1, х = 0, у = 0.

10. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = х2 + 1, х = 1, х = 2, у = 0.

11. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = , х = 1, х = 4, у = 0.

12. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = х2 , у = х.

13. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = , у = 0, х = , х = 2, у = х.

14. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = , у = 0, х = - , х = .

15. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = х – х2 , у = 0.

16. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = , у = 1, х = 2.

17. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ, фігури, обмеженої лініями 2у = х2 , 2х + 2у – 3 = 0.

18. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ, фігури, обмеженої лініями у = 4 – х2 , у = 0.

19. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ, фігури, обмеженої лініями у = ( однієї хвилі ), у = 0.

20. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ, фігури, обмеженої лініями ху = 4, у = 0, х = 1, х = 4.

21. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОУ, фігури, обмеженої лініями у2 + х – 4 = 0, х = 0.

22. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОУ, фігури, обмеженої лініями у = х2 + 2, х = 0, у = 0, х = 1.

23. У кулі радіуса R на відстані від центра кулі проведено площину, яка розбиває кулю на дві частини. Знайти об’єми цих частин.

24. Довести, що об’єм кулі радіуса R дорівнює R3.

25. Вивести формулу для обчислення об’єму конуса, в якого радіус основи R, висота H.

26. Вивести формулу для обчислення об’єму циліндра, в якого радіус основи R, висота H.
Іб. Відповіді та вказівки.
1. V = = = = ( · - ) = (куб. од.).
2. V = = )2 = (- + 1) = (куб.од.).
3. V = . Для цього знайдемо обернену функцію до функції у = . Маємо у = 2х. Отже, V = = = 4· = 270 (куб.од.).
4. V = = = · - · = 7,5 (куб.од.).
5. (куб.од).
6. 8 (куб.од).
7. (куб.од).
8. (куб.од).
9. (куб.од).
10. (куб.од).
11. (куб.од).
12. (куб.од).
13. (куб.од).
14. (куб.од).
15. (куб.од).
16. (куб.од).
17. 29 (куб.од).
18. 34 (куб.од).
19. (куб.од).
20. 12 (куб.од).
21. 34 (куб.од).
22. 2,5 (куб.од).

23. R3 (куб.од); R3 (куб.од).


ІІ. Застосування визначеного інтеграла у фізиці та економіці.
1. Задача про обчислення шляху.

2. Задача про силу тиску рідини.

3. Робота змінної сили.

4. Економічний зміст визначеного інтеграла.

5. Знаходження капіталу за відомими інвестиціями.
  1   2   3

поділитися в соціальних мережах


Схожі:

У сучасному світі все стрімко змінюється. Це стосується І найстарішої...
На уроках геометрії ми вивчаємо кола, паралелограми, трикутники, квадрати І т.І. Проте в природі здебільшого об'єкти «неправильні»...

Застосування похідної до дослідження функцій. Мета
Організація діяльності учнів з узагальнення застосування похідної до дослідження функцій

Орієнтовний тематичний план розподільного вивчення алгебри І початків...
Найпростіші показникові рівняння. Зведення деяких показникових рівнянь до найпростіших

Програма пояснювальна записка мета
...

Н. М. Нікітіна нерівності з однією змінною
Рецензент: Акуленко І. А., кандидат педагогічних наук, доцент кафедри алгебри, геометрії та методики викладання математики (Черкаський...

План-конспект уроку геометрії в 7-му класі Кобеляцької зош І-ІІІ ступенів №2
Мета уроку. Узагальнити та систематизувати навчальний матеріал по темі «Трикутники»

Уроку
Перша частина посібника містить орієнтовне календарно-тематичне планування з алгебри І початків аналізу та з геометрії для фізико-математичного...

Контрольні роботи з геометрії для учнів 11 класу екстернатної форми...
При яких значеннях р кут між векторами ā = ( 1; 1; 0) І ē ( 0; 4; р) дорівнює 600 ?

1. Розділ математики, що вивчає властивості дій над різноманітними...
Французький філософ, фізик, фізіолог, математик, основоположник аналітичної геометрії, запровадив сучасну систему координат

Програма з математики
Програма з математики для вступників до вищих навчальних закладів І та II рівнів акредитації у 2014 р складається з трьох розділів....



База даних захищена авторським правом © 2017
звернутися до адміністрації




a.ocvita.com.ua
Головна сторінка